《數學教案由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組最新20篇》

數學，是一門有趣而又很有學問的學科。生活中存在著無窮的數學故事，與你我的生活息息相關，也是一個游戲的寶塔。2022中考數學知識點有哪些你知道嗎？一起來看看2022中考數學知識點，歡迎查閱！

《一元二次方程》的優秀教案 1

一、教學目標

知識與技能

（1）理解一元二次方程的意義。

（2）能熟練地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次項系數，一次項系數及常數項。

過程與方法

在分析、揭示實際問題的數量關系并把實際問題轉化成數學模型（一元二次方程）的過程中，使學生感受方程是刻畫現實世界數量關系的工具，增加對一元二次方程的感性認識。

情感、態度與價值觀

通過探索建立一元二次方程模型的過程，使學生積極參與數學學習活動，增進對方程的認識，發展分析問題、解決問題的能力。

二、教材分析：

教學重點難點

重點：經歷建立一元二次方程模型的過程，掌握一元二次方程的一般形式。

難點：準確理解一元二次方程的意義。

三、教學方法

創設情境——主體探究——合作交流——應用提高

四、學案

（1）預學檢測

3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定義是怎樣的？其一般形式是怎樣的？

五、教學過程

（一）創設情境、導入新

（1）自學本P2—P3并完成書本

（2）請學生分別回答書本內容再

（二）主體探究、合作交流

（1）觀察下列方程：

（35-2x）2=900 4x2-9=0 3y2-5y=7

它們有什么共同點？它們分別含有幾個未知數？它們的左邊分別是未知數的幾次幾項式？

（2）一元二次方程的概念與一般形式？

如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊是只含一個未知數的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數 a≠0），其中，a、b、c分別稱為二次項系數、一次項系數和常數項，如x2-x=56

（三）應用遷移、鞏固提高

例1：根據一元二次方程定義，判斷下列方程是否為一元二次方程？為什么？

x2-x=1 3x(x-1)=5(x+2) x2=(x-1)2

例2：將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項。

解：去括號得

3x2-3x=5x+10

移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式

3x2-8x-10=0

其中二次項系數為3，一次項系數為-8，常數項為-10.

學生練習：書本P4練習

（四）總結反思 拓展升華

總結

1、一元二次方程的定義是怎樣的？

2、一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的項及系數都是根據一般式定義的，這與多項式中的項、次數及其系數的定義是一致的。

3、在實際問題轉化為一元二次方程數學模型的過程中，體會學習一元二次方程的必要性和重要性。

反思

方程ax3+bx2+cx+d=0是關于x的一元二次方程的條是a=0且b≠0，是一元一次方程的條是a=b=0 且c≠0.

（五）布置作業

（1）必做題P4 習題1.1A組 1.2

（2）選做題：　若xm-2=9是關于x的一元二次方程，試求代數式（m2-5m+6）÷（m2-2m）的值。

元二次方程教案 2

教學內容

根據面積與面積之間的關系建立一元二次方程的數學模型并解決這類問題．

教學目標

掌握面積法建立一元二次方程的數學模型并運用它解決實際問題．

利用提問的方法復習幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的問題．

重難點關鍵

1．重點：根據面積與面積之間的等量關系建立一元二元方程的數學模型并運用它解決實際問題．

2．難點與關鍵：根據面積與面積之間的等量關系建立一元二次方程的數學模型．

教學過程

一、復習引入

1．直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？

2．正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？

3．梯形的面積公式是什么？

4．菱形的面積公式是什么？

5．平行四邊形的面積公式是什么？

6．圓的面積公式是什么？

二、探索新知

現在，我們根據剛才所復習的面積公式來建立一些數學模型，解決一些實際問題．

例1．某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？

（2）如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？

分析：因為渠深最小，為了便于計算，不妨設渠深為xm，則上口寬為x+2，渠底為x+0.4，那么，根據梯形的面積公式便可建模．

解：（1）設渠深為xm

則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m

依題意，得： （x+2+x+0.4）x=1.6

整理，得：5x2+6x-8=0

解得：x1= =0.8m，x2=-2（舍）

∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m．

（2） =25天

答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

例2．如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？

老師點評：依據題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比＝9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm．

數學《一元二次不等式》教學設計 3

學習目標

1、一元二次方程的求根公式的推導

2、會用求根公式解一元二次方程。

3、通過運用公式法解一元二次方程的訓練，提高學生的運算能力，養成良好的運算習慣

學習重、難點

重點：一元二次方程的求根公式。

難點：求根公式的條件：b2 -4ac≥0

學習過程：

一、自學質疑：

1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.

2、用配方解一元二次方程的步驟是什么？

3、用配方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程的實數根呢？

二、交流展示：

剛才我們已經利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步驟解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢？

三、互動探究：

一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)，當b2-4ac≥0時，它的根是

用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法

由此我們可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系數a、b、c確定的。因此，在解一元二次方程時，先將方程化為一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提條件下，把各項系數a、b、c的值代入，就可以求得方程的根。

注：

(1)把方程化為一般形式后，在確定a、b、c時，需注意符號。

(2)在運用求根公式求解時，應先計算b2-4ac的值；當b2-4ac≥0時，可以用公式求出兩個不相等的實數解；當b2-4ac<0時，方程沒有實數解。就不必再代入公式計算了。

四、精講點撥：

例1、課本例題

總結：其一般步驟是：

(1)把方程化為一般形式，進而確定a、b，c的值。(注意符號)

(2)求出b2-4ac的值。(先判別方程是否有根)

(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出 的值，最后寫出方程的根。

例2、解方程：

(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0

(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0

五、糾正反饋：

做書上第P90練習。

六、遷移應用：

例3、一個直角三角形三邊的長為三個連續偶數，求這個三角形的三條邊長。

例4、求方程 的兩根之和以及兩根之積

拓展應用：關于 的一元二次方程 的一個根是 ,則 ;

方程的另一根是

元二次方程 4

教學目標

1. 了解整式方程和的概念；

2. 知道的一般形式，會把化成一般形式。

3. 通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

教學重點和難點：

重點：的概念和它的一般形式。

難點：對的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。

教學建議：

1.  教材分析：

1）知識結構：本小節首先通過實例引出的概念，介紹了的一般形式以及中各項的名稱。

2）重點、難點分析

理解的定義：

是 的重要組成部分。方程 ，只有當 時，才叫做。如果 且 ，它就是了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：

（1）的條件是確定的，如方程 （ ），把它化成一般形式為 ，由于 ，所以 ，符合的定義。

（2）條件是用“關于 的”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于 的 ”，這時題中隱含了 的條件，這在解題中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系數的 項，且出現“關于 的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于 的方程 ”，這就有兩種可能，當 時，它是一元一次方程 ；當 時，它是，解題時就會有不同的結果。

教學目的

1.了解整式方程和的概念；

2.知道的一般形式，會把化成一般形式。

3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

教學難點和難點：

重點：

1.的有關概念

2.會把化成一般形式

難點： 的含義。

第 1 2 頁

《一元二次方程》的優秀教案 5

一、復習目標：

1、能說出一元二次方程及其相關概念，；

2、能熟練應用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想。

3、能靈活應用一元二次方程的知識解決相關問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力。

二、復習重難點：

重點：一元二次方程的解法和應用。

難點：應用一元二次方程解決實際問題的方法。

三、知識回顧:

1、一元二次方程的定義：

2、一元二次方程的常用解法有：

配方法的一般過程是怎樣的？

3、一元二次方程在生活中有哪些應用？請舉例說明。

4、利用方程解決實際問題的關鍵是。

在解決實際問題的過程中，怎樣判斷求得的結果是否合理？請舉例說明。

四、例題解析：

例1、填空

1、當m時，關于x的方程(m－1)+5+mx=0是一元二次方程。

2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，當m時，是一元二次方程；當m時，是一元一次方程。

3、將一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是；此方程的根是。

4、用配方法解方程x2+8x+9=0時，應將方程變形為( )

A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9

C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－7

學習內容學習隨記

例2、解下列一元二次方程

(1)4x2－16x+15=0（用配方法解）(2)9－x2=2x2－6x（用分解因式法解）

（3）(x＋1)(2－x)=1（選擇適當的方法解）

例3、1、新竹文具店以16元/支的價格購進一批鋼筆，根據市場調查，如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支；而這種鋼筆的售價每上漲1元就少賣10支。現在商店店主希望銷售該種鋼筆月利潤為1350元，則該種鋼筆該如何漲價？此時店主該進貨多少？

2、如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6m，BC=8m，點P、Q同時由A、B兩點出發分別沿AC，BC方向向點C勻速運動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？

元二次方程的解法教案 6

1、教材分析

（1）知識結構

（2）重點、難點分析

重點：

①確定圓的定理。它是圓中的基礎知識，是確定圓的理論依據；

②不在同一直線上的三點作圓。“作圓”不僅體現在證明“確定圓的定理”的重要作用，也是解決實際問題中常用的方法；

③反證法證明命題的一般步驟。反證法雖是選學內容，但它是證明數學命題的重要的基本方法之一

難點：反證法不是直接以題設推出結論，而是從命題結論的反面出發，引出矛盾，從而證明原命題正確，又因為矛盾的多樣化，學生剛剛接觸，所以反證法不僅是本節的難點，也是本章的難點。

2、教學建議

本節內容需要兩個課時。在第一課時過三點的圓的教學中：

（1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體和發現問題、解決問題的能力上。讓學生作圖、觀察、分析、概括出定理

（2）組織學生開展“找直角、銳角和鈍角三角形的外心”的位置活動，在激發學生的學習興趣中，提高作圖能力

（3）在教學中，解決過已知點作圓的問題，應緊緊抓住對圓心和半徑的探討，已知圓心和半徑就可以作一個圓，這是從圓的定義引出的基本思路，因此作圓的問題就是如何根據已知條件去找圓心和半徑的問題。由于作圓要經過已知點，如果圓心的位置確定了，圓的半徑也就隨之確定，因此作圓的問題又變成了找圓心的問題，是否可以作圓以及能作多少個圓，都取決于能否確定圓心的位置和圓心的個數

在第二課時反證法的教學中：

（1）對于A層的學生盡量使學生理解并會簡單應用，對B層的學生使學生了解即可

（2）在教學中老師要精講：

①為什么要用反證法；

②反證法的基本步驟；

③精講精練。

第一課時

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1．本節課使學生了解“不在同一條直線上三點確定一個圓”的定理及掌握它的作圖方法。

2．了解三角形的外接圓，三角形的。外心，圓的內接三角形的概念。

（二）能力訓練點

1．培養學生觀察、分析、概括的能力；

2．培養學生準確簡述自己觀點的能力；

3．培養學生動手作圖的準確操作的能力。

（三）德育滲透點

通過引言的教學，激發學生的學習興趣，培養學生的知識來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證只許物主義觀念。

（四）美育滲透點

通過對圓的進一步學習，使學生既能體會圓的完美性（與其他圖形的結合等），又培養美育素質，提高對數學中美的欣賞。

二、教學步驟

（一）教學過程

學生在教師的引導下，親自動手試驗發現經過三點的圓，這三點的位置要進行討論。有兩種情況：

①在一條直線上三點；

②不在一條直線上三點，通過學生小組的討論認為不在同一條直線上三點能確定一個圓。怎樣才能做出這個圓呢？這時教師出示幻燈片。

例1作圓，使它經過不在同一直線上三點。

由學生分析首先得出這個命題的題設和結論。

已知：，求作：⊙ O ，使它經過 A 、B 、C 三點。

接著教師進一步引導學生分析要作一個圓的關鍵是要干什么？由于一開課在設計學校的位置時，學生已經有了印象，學生會很快回答是確定圓心，確定圓心的方法：作的三邊垂直平分線，三邊垂直平分線的交點 O 就是圓心。圓心 O 確定了，那么要經過三點 A 、 B 、C 的圓的半徑可以選 OA 或 OB 都可以。作圖過程教師示范，學生和老師一起完成。一邊作圖，一邊指導學生規范化的作圖方法及語言的表達要準確

定理：不在同一條直線上的三個點確定一個圓

注意：經過在同一條直線上三點不能確定一個圓

這樣做的目的，不是教師“填鴨式”地往里灌，而是學生自己經過探索確定圓的條件，這樣得到的結論印象深刻，效果要比全部由老師講更好。

接著，由于學生完成了作圓的過程，引導學生觀察這個圓與的頂點的關系，得出：經過三角形各項點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。

強調“接”指三角形的頂點在圓上，“內接”、“外接”指在一個圖形的“里面”和“外面”。理解這些術語的意義，指出語言表達的規范化。為了更好地掌握新概念，出示練習題（投影）。

練習1：按圖填空：

（1）是⊙ 0的_________三角形；

（2）⊙ 0 是的_________圓，

這組題的目的就是理解“內接”，“外接”的含意。

練習2：判斷題：

（1）經過三點一定可以作圓；

（2）任意一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓；

（3）任意一個圓一定有一個內接三角形，并且只有一個內接三角形；

（4）三角形的外心是三角形三邊中線的交點；

（5）三角形的外心到三角形各項點的距離相等。

這組練習題主要鞏固對本節課的定理和有關概念的理解，加深學生對概念辨析的準確性。

練習3：

經過4個（或4個以上的）點是不是一定能作圓？

練習4：

選擇題：鈍角三角形的外心在三角形

（A）內部（B）一邊上（C）外部（D）可能在內部也可能在外部

練習34兩道小題，引導學生動手畫一畫，和對定理的理解是否深刻，訓練學生思維的廣闊性和準確性有關。

練習5：教材P59中4題（略）。

習題作業的參考方案

練習1：內接、外接。

練習2：（1）x（2）√（3）x（4）x（5）√

練習3：不一定。因為要想作經過4個點的圓，應先作經過其中不在同一條直線上三點的圓，而第四個點到該圓圓心的距離不一定等于半徑。所以經過4個點不一定能作圓．

練習4．C

練習5．略

（二）總結、擴展

師生共同完成總結

知識點方面：

2．（1）三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心；

（2）三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點；

（3）三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等

3．

方法方面：

1．用尺規作三角形的外接圓的方法。

2．重點詞語的區別：“內接”“外接”。

三、布置作業

1．教材P68中7、8、9。

2．補充作業：已知一個破損的輪胎，要求在原輪胎的基礎上補一個完整的輪胎。

元二次方程的解法教案 7

學情分析

學生在七年級和八年級已經學習了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基礎上本節課將從實際問題入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。

教學目標：

知識技能

1、理解一元二次方程的概念。

2、掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項。

過程與方法

1、通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題及解決問題的能力。

2、通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性。

情感態度

1、培養學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識。

2、激發學生學數學的興趣，體會學數學的快樂，培養用數學的意識。

教學重難點

重點：一元二次方程的概念及一般形式。

難點：探求問題中的等量關系，建立方程模型

教學突破：

1、方程是否為一元二次方程，主要看是否滿足三個條件：

（1）是整式方程；

（2）只含有一個未知數；

（3）未知數的最高次數為2次

2、一元二次方程的各項系數均是相對于一般形式而言的，因此在教學中應強調：若要確定各項的系數，應先將方程化為一般形式。另外，一定要注意符號，尤其符號不能漏掉。

教學過程設計

一、創設情境引入新課

問題1:

在長30米，寬20米的矩形場地上，修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為500平方米，求道路的寬度？

通過多媒體演示，把文字轉化為圖形，幫助學生理解題意，從而由學生獨立思考，列出滿足條件的方程

問題2：

參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，求有多少家參加商品交易會？

二、啟發探究獲得新知

1、一元二次方程的概念：經整理后，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。

說明：

(1)由一問題得到2個方程，由學生觀察歸納這2個方程的。特征，給出名稱并類比一元一次方程的定義，得出一元二次方程的定義

(2)一元二次方程必須同時具備三個特征：

a)整式方程；

b)只含有一個未知數；

c)未知數的最高次數為2

眼疾口快：

請搶答下列各式是否為一元二次方程：

（4）5x+3=10

說明：此環節采取搶答的形式，提高學生學習數學的興趣和積極性。

2、一元二次方程的一般式：

試一試：

例1、下面給出了某個方程的幾個特點：

它的一般形式為

（2）它的二次項系數為5；

（3）常數項是一次項系數的倒數的相反數。

請你寫出一個符合條件的的一元二次方程

說明：此題設置的目的在于加深學生對一般形式的理解

三、運用新知體驗成功

小試牛刀：

1、將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項。

（1）5x 2 -1= 4x；

（2）4x 2 = 81；

（3）4x（x+2）=25；

（4）(3x – 2)( x + 1 ) = 8x - 3

說明：鞏固練習學生整理一般形式的方法，并準確找出各項系數。此環節可找學生口答結果。另讓學生落實將剛才教師板書的整理一般形式的過程，再次突出本節課的重點內容

2、(1)小區20xx年底擁有家庭轎車64輛，20xx年底家庭轎車的擁有輛達到100輛，若該小區這兩年的年平均增長率相同，求年平均增長率x；

（2）一個矩形的長比寬多2厘米，面積是100平方厘米，求矩形的長x；

（3）要組織一次籃球聯賽，每兩隊之間都賽一場，計劃安排21場比賽，有多少隊參加？

說明：這幾題有在實際生活中應用的意義，以此題為例，教師板書整理一元二次方程的過程，讓學生學會如何整理任意一元二次方程的一般形式，并能準確找到各項系數。

教師在此活動中應重點關注：

(1)由一個學生列出方程，并解釋解題方法，教師進行引導，點評，引起其他學生的關注，認同。

(2)教師在歸納點評過程中，應注意把兩隊只打一場比賽解釋清楚，以便學生理解題意。

(3)整理一般形式后，教師應強調整理過程中應用到的等式變形方法，如去括號，移項，合并同類項，去分母等。

(4)讓學生指出各項系數時，教師強調系數須帶符合。

例2、當m取何值時，方程(m-2)xm2-2+3mx=5

是關于x的一元二次方程？

此題由學生思考，討論，并由學生給出結果并進行解釋

說明：此活動過程中，教師應重點關注：

(1)此題目在上一題的基礎上繼續加大難度，

第(1)題須強調先進行整理，再考慮二次項系數是否為零；

第(2)題須先求出m值，再代入二次項系數中，驗證是否為0，得到結果

(2)學生解答過程中，教師把整理的一般形式書寫在黑板上，以便全體學生理解

(2)學生解答過程中，教師把整理的一般形式書寫在黑板上，以便全體學生理解

四、歸納小結拓展提高

1．問題：

本節課你又學會了哪些新知識？

說明：小結反思中，不同學生有不同的體會，要尊重學生的個體差異，激發學生主動參與意識，為每個學生都創造了數學活動中獲得活動經驗的機會。

2．還有什么疑惑？

五、布置作業：

教科書第21.1第1、2、3題。

板書設計

21.1一元二次方程

一元二次方程的概念：方程兩邊都是整式，并且只含有一個未知數，未知數的最高次數是2的方程叫一元二次方程。

一元二次方程的一般形式

a表示二次項系數，b表示一次項系數，c表示常數項。

例1.例1、下面給出了某個方程的幾個特點：

它的一般形式為

（2）它的二次項系數為5；

（3）常數項是一次項系數的倒數的相反數。

請你寫出一個符合條件的的一元二次方程

例2、當m取何值時，方程(m-2)xm2-2+3mx=5

是關于x的一元二次方程？

學生學習活動評價設計：

關注學生在學習活動中的表現，如能否積極的參加活動，能否從不同的角度去思考問題，等等，而不是僅局限于學生列方程，判斷學生各項系數的正確與否。

重視學生應用新知解決問題的能力的評價，鼓勵學生使用數學語言，有條理地表達自己的思考過程，鼓勵大膽質疑和創新。

數學《一元二次不等式》教學設計 8

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發展，又是本章集合知識的運用與鞏固，也為下一章函數的定義域和值域教學作鋪墊，起著鏈條的作用。同時，這部分內容較好地反映了方程、不等式、函數知識的內在聯系和相互轉化，蘊含著歸納、轉化、數形結合等豐富的數學思想方法，能較好地培養學生的觀察能力、概括能力、探究能力及創新意識。

（二）教學內容

本節內容分2課時學習。本課時通過二次函數的圖象探索一元二次不等式的解集。通過復習“三個一次”的關系，即一次函數與一元一次方程、一元一次不等式的關系；以舊帶新尋找“三個二次”的關系，即二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系；采用“畫、看、說、用”的思維模式，得出一元二次不等式的解集，品味數學中的和諧美，體驗成功的樂趣。

二、教學目標分析

根據教學大綱的要求、本節教材的特點和高一學生的認知規律，本節課的教學目標確定為：

知識目標——理解“三個二次”的關系；掌握看圖象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

能力目標——通過看圖象找解集，培養學生“從形到數”的轉化能力，“從具體到抽象”、“從特殊到一般”的歸納概括能力。

情感目標——創設問題情景，激發學生觀察、分析、探求的學習激情、強化學生參與意識及主體作用。

三、重難點分析

一元二次不等式是高中數學中最基本的不等式之一，是解決許多數學問題的重要工具。本節課的重點確定為：一元二次不等式的解法。

要把握這個重點。關鍵在于理解并掌握利用二次函數的圖象確定一元二次不等式解集的方法——圖象法，其本質就是要能利用數形結合的思想方法認識方程的解，不等式的解集與函數圖象上對應點的橫坐標的內在聯系。由于初中沒有專門研究過這類問題，高一學生比較陌生，要真正掌握有一定的難度。因此，本節課的難點確定為：“三個二次”的關系。要突破這個難點，讓學生歸納“三個一次”的關系作鋪墊。

四、教法與學法分析

（一）學法指導

教學矛盾的主要方面是學生的學。學是中心，會學是目的。因此在教學中要不斷指導學生學會學習。本節課主要是教給學生“動手畫、動眼看、動腦想、動口說、善提煉、勤鉆研”的研討式學習方法，這樣做增加了學生自主參與，合作交流的機會，教給了學生獲取知識的途徑、思考問題的方法，使學生真正成了教學的主體；只有這樣做，才能使學生“學”有新“思”，“思”有新“得”，“練”有新“獲”，學生也才會逐步感受到數學的美，會產生一種成功感，從而提高學生學習數學的興趣；也只有這樣做，課堂教學才富有時代特色，才能適應素質教育下培養“創新型”人才的需要。

（二）教法分析

本節課設計的指導思想是：現代認知心理學——建構主義學習理論。

建構主義學習理論認為：應把學習看成是學生主動的建構活動，學生應與一定的知識背景即情景相聯系，在實際情景下進行學習，可以使學生利用已有知識與經驗同化和索引出當前要學習的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情景中。

本節課采用“誘思引探教學法”。把問題作為出發點，指導學生“畫、看、說、用”。較好地探求一元二次不等式的解法。

五、課堂設計

本節課的教學設計充分體現以學生發展為本，培養學生的觀察、概括和探究能力，遵循學生的認知規律，體現理論聯系實際、循序漸進和因材施教的教學原則，通過問題情境的創設，激發興趣，使學生在問題解決的探索過程中，由學會走向會學，由被動答題走向主動探究。

（一）創設情景，引出“三個一次”的關系

本節課開始，先讓學生解一元二次方程x2-x-6=0，如果我把“=”改成“”則變成一元二次不等式x2-x-60讓學生解，學生肯定感到很突然。但是“思維往往是從驚奇和疑問開始”，這樣直奔主題，目的在于構造懸念，激活學生的思維興趣。

為此，我設計了以下幾個問題：

1、請同學們解以下方程和不等式：

①2x-7=0；

②2x-70；

③2x-70

學生回答，我板書。

2、我指出：2x-70和2x-70的解實際上只需利用不等式基本性質就容易得到。

3、接著我提出：我們能否利用不等式的基本性質來解一元二次不等式呢？學生可能感到很困惑。

4、為此，我引入一次函數y=2x-7，借助動畫從圖象上直觀認識方程和不等式的解，得出以下三組重要關系：

①2x-7=0的解恰是函數y=2x-7的圖象與x軸

交點的橫坐標。

②2x-70的解集正是函數y=2x-7的圖象

在x軸的上方的點的橫坐標的集合。

③2x-70的解集正是函數y=2x-7的圖象

在x軸的下方的點的橫坐標的集合。

三組關系的得出，實際上讓學生找到了利用“一次函數的圖象”來解一元一次方程和一元一次不等式的方法。讓學生看到了解決一元二次不等式的希望，大大激發了學生解決新問題的興趣。此時，學生很自然聯想到利用函數y=x2-x-6的圖象來求不等式x2-x-60的解集。

（二）比舊悟新，引出“三個二次”的關系

為此我引導學生作出函數y=x2-x-6的圖象，按照“看一看 說一說 問一問”的思路進行探究。

看函數y=x2-x-6的圖象并說出：

①方程x2-x-6=0的解是

x=-2或x=3 ；

②不等式x2-x-60的解集是

{x|x-2，或x3}；

③不等式x2-x-60的解集是

{x|-23}。

此時，學生已經沖出了困惑，找到了利用二次函數的圖象來解一元二次不等式的方法。

學生沉浸在成功的喜悅中，不妨趁熱打鐵問一問：如果把函數y=x2-x-6變為y=ax2+bx+c(a0)，那么圖象與x軸的位置關系又怎樣呢？(學生回答：△0時，圖象與x軸有兩個交點；△=0時，圖象與x軸只有一個交點；△0時，圖象與x輛沒有交點。)請同學們討論：ax2+bx+c0與ax2+bx+c0的解集與函數y=ax2+bx+c的圖象有怎樣的關系？

（三）歸納提煉，得出“三個二次”的關系

1、引導學生根據圖象與x軸的相對位置關系，寫出相關不等式的解集。

2、此時提出：若a0時，怎樣求解不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0？(經討論之后，有的學生得出：將二次項系數由負化正，轉化為上述模式求解，教師應予以強調；也有的學生提出畫出相應的二次函數圖象，根據圖象寫出解集，教師應給予肯定。)

（四）應用新知，熟練掌握一元二次不等式的解集

借助二次函數的圖象，得到一元二次不等式的解集，學生形成了感性認識，為鞏固所學知識，我們一起來完成以下例題：

例1、解不等式2x2－3x－20

解：因為Δ0，方程2x2－3x－2=0的解是

x1= ，x2=2

所以，不等式的解集是

{ x| x ，或x2}

例1的解決達到了兩個目的：一是鞏固了一元二次不等式解集的應用；二是規范了一元二次不等式的解題格式。

下面我們接著學習課本例2。

例2 解不等式－3x2+6x2

課本例2的出現恰當好處，一方面突出了“對于二次項系數是負數(即a0)的一元二次不等式，可以先把二次項系數化為正數，再求解”；另一方面，學生對此例的解答極易出現寫錯解集(如出現“或”與“且”的錯誤)。

通過例1、例2的解決，學生與我一起總結了解一元二次不等式的一般步驟：一化正—二算△—三求根—四寫解集。

例3 解不等式4x2－4x+10

例4 解不等式－x2+2x－30

分別突出了“△=0”、“△0”對不等式解集的影響。這兩例由學生練習，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予熱情表揚。

4道例題，具有典型性、層次性和學生的可接受性。為了避免學生學后“一團亂麻”、“一盤散沙”的局面，我和學生一起總結。

（五）總結

解一元二次不等式的“四部曲”：

(1)把二次項的系數化為正數

(2)計算判別式Δ

(3)解對應的一元二次方程

(4)根據一元二次方程的根，結合圖像(或口訣)，寫出不等式的解集。概括為：一化正→二算Δ→三求根→四寫解集

（六）作業布置

為了使所有學生鞏固所學知識，我布置了“必做題”；又為學有余力者留有自由發展的空間，我布置了“探究題”。

（1）必做題：習題1.5的1、3題

（2）探究題：

①若a、b不同時為零，記ax2+bx+c=0的解集為P，ax2+bx+c0的解集為M，ax2+bx+c0的解集為N，那么P∪M∪N=______________；

②已知不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+30的解集是R，求實數k的取值范圍。

（七）板書設計

一元二次不等式解法（1）

五、教學效果評價

本節課立足課本，著力挖掘，設計合理，層次分明。以“三個一次關系→三個二次關系→一元二次不等式解法”為主線，以“從形到數，從具體到抽象，從特殊到一般”為靈魂，以“畫、看、說、用”為特色，把握重點，突破難點。在教學思想上既注重知識形成過程的教學，還特別突出學生學習方法的指導，探究能力的訓練，創新精神的培養，引導學生發現數學的美，體驗求知的樂趣。

數學《一元二次方程》教案設計 9

教材分析

1．本節在引言中的方程基礎上，首先通過兩個實際問題，進一步引出一元二次方程的具體例子，然后引導學生觀察出它們的共同點，得出一元二次方程的定義。

2．書中的定義是以未知數的個數和次數為標準，用文字的形式給出的。一元二次方程都可以整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，即一元二次方程的一般形式。

3、本節始終都有列方程的內容，這樣安排一方面是分散列方程這一教學難點，化整為零地培養由實際問題抽象出方程模型的能力；另一方面是為由一些具體的方程歸納出一元二次方程的概念。

學情分析

1、通過課堂練習，大部分學生對概念基本理解，能夠找出各項系數，但有少數學困生對于系數符號沒有掌握。

2、部分學生由于基礎較薄弱，用一元二次方程解決實際問題有一定的`難度，解決這問題要以多練為主。

3、學生認知障礙點：一元二次方程與不等式和整式的綜合運用能力有待提高。

教學目標

1、從實際問題引出一元二次方程，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型，培養學生分析問題和解決問題的能力及用數學的意識。

2、使學生正確理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能將一元二次方程轉化為一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項。

3、通過概念教學，培養學生的觀察、類比、歸納能力，同時通過變式練習，使學生對概念理解具備完整性和深刻性。

教學重點和難點

1、重點：概念的形成及一般形式。

2、難點：從實際問題引出一元二次方程；正確識別一般形式中的“項”及“系數”。

元二次方程 10

[課    題] §12.1 一元二次方程[教學目的]  使學生了解整式方程、一元二次方程的意義；使學生知道并能認識一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。[教學重點]  使學生知道并能認識一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。[教學難點 ]  使學生掌握什么是一元二次方程的二次項和系數、一次項和系數以及常數項，[教學關鍵]  使學生掌握在指出一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項時，一定要包括它們的符號。[教學用具]  [教學形式]  講練結合法。[教學用時]  45′×1 [教學過程 ][復習提問] 例方程解應用題的一般步驟是什么？[講解新課]引例可由教師提出并分析其中的數量關系，設出未知數，列出代數式，并根據等量關系列出方程：（80－2x）（60－2x）=1500。（這其中應重點復習列方程解應用題的方法、步驟，或講解或提問應視具體情況而定）。提問：如何將上述方程整理？整理后，得：x2－70x+825=0。這里不必多講，只指出：這個方程（什么方程？這里不談）與我們已經學過的一元一次方程不同，我們學了這一章，就可以解這個方程，從而解決上述問題。接著書寫教科書第4頁的問題：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應該怎樣剪？引導學生分析題意，設未知數，列出代數式，找出相等關系，列出方程：x（x+5）=150。去括號，得：  x2+5 x=150。現在來觀察這個方程：它的兩邊都是關于未知數的整式，指出“這樣的方程叫做整式方程。”就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別，因而，一元一次方程也是整式方程，但一元一次方程未知數的次數是1，而上列方程未知數的最高次數是2，所以，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程。（這樣與一元一次方程對比著講，既使整式方程的內含擴大，以加深學生的印象，也可使學生深刻了解一元二次方程的意義。）下列方程都是整式方程嗎？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？1、3x+2=5x－3；(2x=5)2、x2=4；3、(x－1)(x－2)=x2+8；(3x=－6)4、(x+3)(3x－4)=(x+2)2；(2x2+x－16=0)（上述方程都是整式方程。其中1、3是一元一次方程，2、4是一元二次方程。）上列方程中的4，兩邊展開，得3x2+5x－12=x2+4x+4移項，得    2x2+x－16=0事實上，方程x2+5 x=150移項，得    x2+5 x－150=0這就是說，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都可以化成下面的形式：            ax2+bx+c=0（a≠0）。這種形式叫做一元二次方程的一般形式。這里應強調指出，方程            ax2+bx+c=0只有當a≠0時，才叫一元二次方程。如果a=0，b≠0，就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必須包含a≠0這個條件。隨后指出，在方程中，ax2，bx，c各項的名稱，并舉例說明。（ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。）例1  把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數及常數項。解：去括號，得               3x2－3 x=2x+4+8移項，合并同類項，得               x2－5 x－12=0二次項系數是3；一次項系數是－5；常數項是－12。[課堂練習]教科書第5頁練習第1，2題。[課堂小結]通過本節課的學習，我們知道了什么是整式方程，什么叫做一元二次方程和一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。在這里我們要特別注意a≠0這個條件。同時我們還學習了一元二次方程化成一般形式后，什么是二次項系數，什么是一次項系數，什么是常數項，在指出這三項內容時，要特別注意它們的符號。[課外作業 ]復習教科書第4，5頁的內容，預習教科第6頁上的內容。 [板書設計 ]課題：      例題：輔助板書： [課后記]

通過本節課的學習，大部分學生已掌握了什么是整式方程，什么是一元二次方程的概念，對今后學習一元二次方程的解法打下了良好的基礎。

數學《一元二次方程》教案設計 11

教學目標

1、了解整式方程和一元二次方程的概念；

2、知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。

3、通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

教學重點和難點：

重點：一元二次方程的概念和它的一般形式。

難點：對一元二次方程的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。

教學建議：

1、教材分析：

1)知識結構：本小節首先通過實例引出一元二次方程的概念，介紹了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各項的名稱。

2)重點、難點分析

理解一元二次方程的定義：

是一元二次方程的重要組成部分。方程，只有當時，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：

（1)一元二次方程的條件是確定的，如方程( ），把它化成一般形式為，由于，所以，符合一元二次方程的定義。

（2）條件是用“關于的一元二次方程”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于的一元二次方程”，這時題中隱含了的條件，這在解題中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系數的項，且出現“關于的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于的方程”，這就有兩種可能，當時，它是一元一次方程；當時，它是一元二次方程，解題時就會有不同的結果。

元二次方程的應用 12

一元二次方程的應用中例1：用22cm長的鐵絲折成一個面積為30cm2的矩形，求這個矩形的長與寬。這是面積問題中的一個典型例題，我在引導學生解決此題之后，馬上改編為：用22cm長的鐵絲能不能折成一個面積為32cm2的矩形？試分析你的結論。通過此題，與一元二次方程的判別式聯系起來，前后知識融會貫通。又改編為：有一面積為150 m2的長方形雞場，雞場的一邊*墻（墻長18）另三邊用竹籬笆圍成，如果竹籬笆的長為35，求雞場的長與寬。

通過變式訓練，讓學生由淺入深，由易到難，也讓學生解決問題的能力逐級上升，這是這節課中的一大亮點。

元二次方程 13

教學目的